Causaal modelleren: Quantumdeeltje-in-een-doosje


Het examenprogramma natuurkunde vwo omvat het nieuwe domein quantumwereld.1 Deze wereld wordt bevolkt door een groot aantal modellen: het Bohr model van het atoom, het fotonmodel van licht, het quantummodel van een deeltje. In de natuurwetenschap hebben deze modellen een stevige basis, maar bij eerste kennismaking zijn deze modellen abstract en vreemd.

Als eenvoudig model wordt een deeltje in een eendimensionaal doosje beschouwd.2 Het leerdoel is dat leerlingen aan de hand van dit model kunnen uitleggen dat quantisatie het gevolg is van het opsluiten van deeltjes, zoals elektronen, en dat met behulp van de quantummechanica spectra van atomen en moleculen in detail berekend kunnen worden.

causaal modelleren figuur

Fig 3.3 Golflengten in                                                            Fig. 3.4 Energieniveaus in 
een 1-dim doosje                                                                   een 1-dim doosje

  1. De vraag is welke golffuncties passen bij een deeltje in een eendimensionaal doosje. Dit kan berekend worden met een paar regels:
    Voor een deeltje met massa m geldt een fundamentele relatie die een golflengte verbindt met de deeltjeseigenschap ‘impuls’. Deze relatie werd in 1924 gegeven door Louis de Broglie: 
    Formule1.GIF
    De zo gedefinieerde golflengte λB wordt de 'debroglie-golflengte' genoemd. Als een deeltje in een situatie verkeert waarin de debroglie-golflengte van belang kan zijn, spreekt men van een 'quantumdeeltje'.
  2. Stel dat een quantumdeeltje is opgesloten in een eendimensionaal doosje (diepe potentiaalput). Bij de grenzen van het doosje en daarbuiten kan het quantumdeeltje niet worden aangetroffen. Daar is de golffunctie nul.  De eerst mogelijke oplossing is dan dat een halve golflengte past op de breedte van het doosje. Voor een doosje met breedte L is de debroglie-golflengte dan gelijk aan 2L:
    Formule2.GIF
  3. Meer algemeen moet een geheel veelvoud van de halve golflengte passen op de breedte van het doosje:
    Formule3.GIF
    Andere golven gaan niet naar nul op de rand en kunnen niet bestaan. Leerlingen kunnen de bijbehorende energieniveaus van het quantumdeeltje berekenen en een schets maken van het energiespectrum.

​Het quantumdeeltje-in-een-doosje-model is een voorbeeld van een causaal model. Hoewel sterk vereenvoudigd, maakt het model aannemelijk dat emissie- en absorptiespectra van atomen gequantiseerd zijn en dat deze spectra berekend kunnen worden uit overgangen van elektronen tussen energieniveaus.3

1. Syllabus centraal examen 2018, natuurkunde vwo (pdf, 1 MB), CvTE (2016)

2. H. van Bemmel en L. Koopman, Nova natuurkunde 6 vwo, Malmberg (2015)
3. H. van Bemmel, Quantumnuance, NTvN (2017)